Cuando el gráfico P (fracción defectuosa) se utiliza para determinar estabilidad en procesos con fracciones defectuosas muy pequeñas, tamaños de muestra muy grandes, o ambos, los límites de control se hacen tan pequeños que la herramienta pierde su valor para analizar estabilidad y ausencia o presencia de causas especiales de variación. Lo mismo pasa con el gráfico U (defectos por unidad). En ambos casos, como veremos en los siguientes ejemplos, las fórmulas tradiciones de cálculo de límites de control dividen en n muy grande y dejan de mostrar la variación natural del proceso en estudio.
Afortunadamente existen formas alternativas de devolver a los límites de control su poder de análisis de la estabilidad y variación de los procesos. En el caso de los gráficos P vamos a estudiar el gráfico de puntos individuales (y sus potenciales peligros) y el gráfico P de Laney; y para el gráfico U veremos la forma alternativa de gráfico U de Laney.
Gráfico de puntos individuales como alternativa al gráfico P
Forrest Breyfogle sugiere el uso de gráficos de puntos individuales para resolver el problema de las falsas alarmas de los límites P cuando n es muy grande y la distancia de los límites se vuelve muy pequeña. Esta alternativa depende de que se cumplan dos supuestos, primero el tamaño de subgrupo debe ser constante, y segundo las fracciones deben seguir un comportamiento normal. Sin no se cumplen ambos supuestos todavía existe un chance de aproximadamente 1 en 10 de falsas alarmas (por teorema de Chebyshev, ahí perdonan mi escritura del ruso…). Recordemos que un buen gráfico de control, en particular el gráfico X-Barra R, tiene un chance de aproximadamente de 1 en 1000 de una falsa alarma (un punto fuera de los límites de control).
Veamos el siguiente ejemplo modificado de los datos de un proceso de una empresa de dispositivos médicos.
Vemos de inmediato que tenemos tamaños de lote relativamente grandes y fracciones defectuosas (scrap) muy pequeñas.
En principio la fracción defectuosa de este proceso debería poder controlarse con un gráfico P.
Hemos usado límites variables para reflejar los diferentes tamaños de lote, sin embargo, todavía existe la duda ¿está este proceso completamente fuera de control como se muestra en el gráfico?
Veamos las fórmulas de cálculo de límites para el gráfico P:
Cuando ese n es muy grande el límite deja de reflejar una variación de +/- 3 desviaciones estándar binomiales.
El gráfico de puntos individuales para la fracción defectuosa es un mejor estimador de las 3 desviaciones estándar hacia cada lado del centro.
Para este caso las fórmulas que aplican son las siguientes:
Nótese que se usa un rango móvil y una constante (E2) para construir el estimado de las 3 desviaciones estándar. Generalmente se utiliza un rango móvil de 2 lecturas en cuyo caso el valor de E2 es de 2.66.
Ver la siguiente tabla para una lista más completa de constantes para el gráfico de puntos individuales.
Se muestra como ejemplo el cálculo del límite superior para el gráfico de puntos individuales.
Falta ahora determinar si las fracciones se pueden modelar de acuerdo con la Distribución Normal. La verificación gráfica es suficiente como se muestra a continuación.
La regla es que los datos sigan aproximadamente una línea recta proporcional (lineal). Como puede verse en este caso los datos de scrap no se pueden considerar normales.
El gráfico de puntos individuales es una mejor forma de ver si la fracción de scrap está fuera de control. Sin embargo, para el ejemplo no se cumplió ninguno de los supuestos, tamaño de muestra constante y normalidad de los datos.
Gráfico P´de Laney como alternativa al gráfico P
David Laney propone una corrección al problema de grandes muestras (Quality Engineering 6/2002). De acuerdo con Laney es un error asumir que toda la variación se da dentro de cada muestra y no se considera la variación de muestra a muestra. La propuesta es usar un valor estandarizado Z y la determinación de una desviación estándar (sz) que explica la variación entre grupos.
A partir de la siguiente tabla vamos a realizar los cálculos para el gráfico P´de Laney.
Vamos a poner atención específica al lado derecho de la tabla:
Columna 1: Todos los valores del scrap.
Columna 2: P promedio para el gráfico.
Columna 3: Sigma p. Desviación estándar de cada muestra.
Ejemplo columna 3:
Para el primer valor de scrap = 0.003.
Columna 4: Valor normalizado Z.
Ejemplo columna 4:
Para el primer valor de scrap = 0.003.
Columna 5: Rango móvil para 2 unidades. Valor absoluto de la diferencia entre dos valores de z. Inicia en el segundo valor.
Ejemplo columna 5:
Para los valores 1 y 2 de z: -11.315 y 4.194.
Columna 6: desviación estándar para cada punto graficado (tomando en cuenta z).
Y σz se calcula como:
Donde MR es el promedio de todos los rangos móviles y 1.128 es el valor de la constante d2 para muestras de tamaño 2. Los valores de d2 dependen del tamaño de muestra de donde se calculó cada rango. Siempre para muestras de tamaño 2 el valor es 1.128. Puede consultar esta tabla para otros valores de d2 y otras constantes de gráficos de control.
Ejemplo columna 6:
6.1 Cálculo del valor de σz.
6.2 Cálculo de sd(pi) para el primer valor de scrap.
Columna 7: Límite inferior de control.
Ejemplo columna 7:
Para el primer valor de scrap.
Columna 8: Límite superior de control.
Ejemplo columna 8:
Para el primer valor de scrap.
El gráfico completo luce de la siguiente manera:
Hasta el momento hemos ido paso por paso con los cálculos que llevan a los límites de control de Laney. Siempre es importante entender el origen de los métodos y herramientas que utilizamos y por supuesto que agradecemos cuando este nivel de complejidad está disponible en software.
Tanto Minitab como qiMacros tienen disponibles los gráficos de Laney, no sólo para el caso de P sino también para el caso de los gráficos U (defectos por unidad), en R son fácilmente programables, aunque todavía no los veo disponibles en las librarías de SPC. La próxima semana trataremos más ejemplos alternativos tanto para P como para U, particularmente un ejemplo de miles de millones de transacciones que de otra manera sería muy difícil determinar si está bajo control o no.
E!
