En el terrible tráfico de San José, Costa Rica el viaje de 17 kilómetros desde mi casa hasta la oficina de PXS puede tomar desde 30 minutos hasta 1 hora con 30 minutos. Durante el trayecto algunas veces la velocidad es 1 km/h y otras a 20 km/h o 50 km/h y con suerte algunos tramos a 100 km/h. Entre tanto lío, la computadora del Mini lo tiene clarito, viajamos a una velocidad promedio de 26.7 km/h. ¿Cómo se calcula este promedio? La respuesta es la media armónica.
Además de la media armónica, veremos hoy también la media geométrica. Y para poder contextualizar ambas nos tenemos que referir brevemente a la media aritmética. Las tres constituyen las llamadas Medias Pitagóricas.
La Media Aritmética
Solamente para dar contexto recordemos que nuestra media aritmética se obtiene cuando sumamos todos los números en un conjunto de datos, y luego lo dividimos entre el total de datos. Esencialmente estamos diciendo algo así como si todos los números en nuestro conjunto fueran iguales, ¿cuál debería ser ese número para obtener la misma suma que con el conjunto de datos real?
La famosa, “sexy” y nada especial fórmula:
A ver, sumemos las edades de los 11 jugadores titulares que utilizó el F.C. Barcelona en su último partido de Liga Española con fecha sábado 19 de octubre 2019 contra el Eibar (con marcador de 3 a 0 a favor del Barcelona). Los 11 titulares y sus respectivas edades a esta fecha son los siguientes:
Edad promedio de los jugadores del F.C. Barcelona =
O sea, es como si todos los 11 tuvieran exactamente 27 años. Pero la media aritmética solamente funciona para casos aditivos. Si pusiéramos todos las edades en una línea recta donde el eje X fuera posición (desde la menor hasta la mayor) y el eje Y edad, de inmediato vemos una línea recta.
¿Qué pasa cuando la relación entre los datos no se puede explicar por medio de una suma linear, sino que la relación es de otro tipo? Veamos.
¿Cuál es realmente la velocidad promedio de un trayecto afectado por las condiciones de tráfico?
Este es precisamente el caso del algoritmo de mi Mini Cooper, y la de cualquier otro carro que nos muestre la velocidad promedio en sus indicadores.
Hagamos un ejemplo sencillo. Supongamos que durante la mitad de un viaje la velocidad es de 60 kilómetros por hora, y en la segunda mitad las cosas se ponen difíciles y la velocidad es de 20 kilómetros por hora. Se nota que avancé a una tasa mucho menor la segunda mitad del viaje, entonces ¿cuál número me dirá la velocidad a la que pude haber viajado todo el trayecto y llegar en el mismo tiempo? ¿Cuál es la velocidad promedio? La media aritmética diría que la velocidad promedio fue:
Con una velocidad promedio de 40 km/h todo el trayecto el tiempo total habría sido:
Verifiquemos cuánto tiempo realmente nos tomó cada mitad de nuestro viaje de 20 km.
Redondeemos a 40 minutos total.
Si realmente nos tomó 40 minutos llegar al lugar de destino quiere decir que la velocidad promedio fue:
También lo podemos ver como que del tiempo total de 40 minutos el 25% viajamos a 60 kilómetros por hora y el 75% nuestra velocidad fue de 20 kilómetros por hora. Usando un promedio ponderado:
Nuestra velocidad media real es altamente influenciada por la porción más lenta y que por lo tanto nos tomó mucho más tiempo.
Y llegamos a la media armónica. Todo lo anterior se puede hacer con una sola fórmula si de previo entendemos las condiciones.
Media Armónica
La media armónica se usa para calcular el promedio real de bases de datos de razones o tasas de diferentes longitudes o tiempos. Algunos de sus usos incluyen velocidad promedio de un trayecto, o productividad promedio cuando se tienen diferentes tasas de productividad durante un periodo de tiempo. Matemáticamente se define como:
La media armónica (H) de un conjunto de datos de elementos no nulos (X1, X2, …, Xn) es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/Xi es el recíproco de Xi) multiplicado por el número de elementos del conjunto (N).
Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos.
Siguiendo el mismo ejemplo de la velocidad promedio:
Así de fácil, y sin tener que hacer tanta cosa y tanto cálculo, ni filosofar sobre la diferencia entre los trayectos…
Interesantemente la media armónica no se sesga con valores extremos altos, y más bien favorece la representación de valores bajos y muy bajos.
Media Geométrica
Los belts de Seis Sigma se van a sentir muy identificados con la media geométrica pues la calculan todo el tiempo. Igualmente, los financieros no podrían vivir sin ella. Y lo único que tiene que ver con el Mini Cooper es si quisiera sacar el pago promedio mensual del préstamo dado que constantemente cambian las tasas de interés…
Empecemos ahora con la definición y de ahí nos vamos a los ejemplos.
La media geométrica (MG) de un conjunto de números estrictamente positivos (X1, X2, …, XN) es la raíz N-ésima del producto de los N elementos.
Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores que cero. Si algún elemento fuese cero (Xi = 0), entonces la MG sería 0 aunque todos los demás valores estuviesen alejados del cero.
Se usa para promediar intereses compuestos que cambian con el tiempo, y en general cuando se desea promediar factores que multiplican en lugar de sumar.
Ejemplo:
Una inversión tiene un rendimiento de 50% el primer año, 20% el segundo año y 90% el tercer año. ¿Cuál es el rendimiento promedio de la inversión?
Usando media geométrica tenemos:
Quiere decir que al final de tres años una inversión inicial de $10,000 tendría un rendimiento de:
Verifiquemos el resultado:
Puede verificar que la media aritmética (aditiva) da como resultado 1.53 que sobrestima el valor de la inversión en los tres años.
Y un último ejemplo que está en el corazón de los Green Belts y los Black Belts, el RTY Normalizado (Rolled Throughput Yield Normalizado, o Rendimiento Acumulado Normalizado).
Si tenemos varios pasos de proceso dependientes (ensamble en línea, por ejemplo) donde cada paso tiene un rendimiento o yield individual. Llamamos Rolled Throughput Yield o rendimiento acumulado, al resultado final luego de pasar por cada uno de los pasos del proceso. Hasta aquí es simplemente multiplicar los rendimientos de cada paso para saber cuál será el rendimiento final. Veamos un ejemplo.
El RTY de este proceso es:
Supongamos que entren 100 unidades buenas a Soldadura 1 y les vamos dando seguimiento hasta Ensamble.
¿Cuál debería ser el rendimiento normalizado o uniforme de cada paso del proceso para obtener el mismo rendimiento final?
Aquí es donde entra la media geométrica.
Si cada paso del proceso tuviera un rendimiento de 83.66% el rendimiento final sería el mismo RTY de 40.3%
Las tres medias pitagóricas en resumen
Además, existe la siguiente relación entre las tres.
Una implicación importante de esta desigualdad es que si se calcula la media aritmética cuando lo correcto debería ser una de las otras dos, la media aritmética siempre va a sobreestimar el valor del promedio.
Antes de calcular su siguiente promedio, primero analice cuál es la relación que tienen los datos. No siempre la media aritmética es la respuesta a todo. Recuerde, media armónica para razones o tasas de diferentes longitudes o periodos, y media geométrica para factores que se multiplican en lugar de sumarse.
